Tarea 2.0 para entregar el jueves 20 de abril. Suma 15 pts, todos cuentan, aprovechen.

B.*

Actualización: El problema 7 era el mismo que el problema 1, así que revisen la página 2, con el nuevo problema 7.

Tarea 1.0, acerca de representaciones de so(1,3) , SL(a,C) & sl(2,C).

La idea de estas notas es mostrar que en una Variedad Diferencial real n-dimensional $M$, podemos equiparla con un espacio vectorial en cada punto “p”: $T_{p}(M)$ que es el vector $V[f]$ visto en clase: un vector para cada función continua sigma. Y con un Campo Vectorial. Así definimos una curva integral como la curva en $M$ tal que su vector tangente $V$ en $p$, es precisamente el vector que el Campo Vectorial asigna a ese punto $\frac{\partial \sigma(t,x)}{\partial t}=X (\sigma (t,x))

Después, dado un automorfismo $L_{A}: M/rightarrow M$, Tal que $B/rightarrow AB$, para todo$B$ en $M$, usamos el mapa diferencial inducido “push forward” entre los espacios tangentes respectivos: $L_{A})_{*}: T_{A}(M)/rightarrow T_{AB}(M)$. ($A$ y $B$ son elementos de $M$, por lo tanto son puntos)

Comparando cómo cambian los vectores asociados a un campo vectorial $Y$ cuando los transporto (no paralelamente, sino con el push forward), por el flujo $\sigma(t,x)$ de otro Campo Vectorial $X$, construimos la Derivada de Lie.

Otra forma de verlo sería, la Derivada de Lie de $Y$ respecto a $X$, $L_{X}(Y)= [X[Y[f]]-[Y[X[f]]$, con $f$ una función suave en $M$, a fin de cuentas, $X$ y $Y$ como Campos Vectoriales asignan un vector a cada punto de M, y los vectores son funcionales que actúan sobre funciones continuas en $M$, en este caso, $f$.

Nuestra función $f$ entre variedades diferenciales (o entre elementos de ésta) es $L_A$ (Multiplicar por la izquierda), y el push forward $f_{*}$ entre espacios tangentes es $L_{A})_{*}$.

Pedimos que un Campo Vectorial $X$ sea invariante por la izquierda:

$(L_{A})_{*} X_{B} = X_{AB}$

Si hecemos $B= e$,

$(L_{A})_{*} X_{e} = X_{Ae}=X_{A}$

Podemos definir un Álgebra de Lie como el espacio de Campos Vectoriales Invariantes por la izquierda, para cada elemento del espacio tangente$ V$ en $T_{A}(M)$ existe un único Campo Vectorial $X_{V}$ que satisface la ecuación de arriba, y entonces tenemos un isomorfismo entre el espacio tangente $T_{A}(M)$ y el espacio de Campos Vectoriales, ya que es un espacio vectorial, lo equipamos con un producto algebraico, que es la Derivada de Lie.

Ver la Bibliografía sugerida en: AVISO IMPORTANTE.

Colegas, dejo la tarea 00. Esta tarea es tan voluntaria como la anterior y también tan válida.

El tema de variedades diferenciales, mapas inducidos, derivadas de Lie y representaciones se verán próximamente. (Las correspondientes notas, aparecerán próximamente).

Fecha de entrega: Jueves 9 de marzo, entregar las soluciones de ejercicios que de estar bien a lo más sumen 12 pts.

B.*

Segunda parte de las notas sobre Representaciones del álgebra del Modelo Standard: SU(2) débil y U(1) de Hypercarga.

Primera parte de las notas del álgebra del Modelo Standard: SU(2) fuerte, SU(2) Isospin, Leptones & Colores.

En estas notas introducimos los conceptos de Pesos (weights) que son los eigenvalores para una Representación de los elementos de la sub-álgebra de Cartan y las raíces (Roots), que son los pesos de la representación Adjunta, y tratamos explícitamente el caso más sencillo no trivial, que es SU(3): los quarks algebraicos.

En las últimas 2 transparencias, se explica cómo se calcula la representación del álgebra de un grupo que es un producto de otros 2 grupos.