Grupos & Álgebras de Lie II. Versión Geometría Diferencial.

La idea de estas notas es mostrar que en una Variedad Diferencial real n-dimensional M, podemos equiparla con un espacio vectorial en cada punto “p”: Tp(M) que es el vector V[f] visto en clase: un vector para cada función continua sigma. Y con un Campo Vectorial. Así definimos una curva integral como la curva en M tal que su vector tangente V en “p”, es precisamente el vector que el Campo Vectorial asigna a ese punto.

Después, dado un automorfismo L_{A}: M/rightarrow M, Tal que B/rightarrowAB, para todo B en M, usamos el mapa diferencial inducido “push forward” entre los espacios tangentes respectivos: (L_{A})_{*}: T_{A}(M)/rightarrow T_{AB}(M). (A y B son elementos de M, por lo tanto son puntos)

Comparando como cambian los vectores tangentes asociados a un campo vectorial X cuando los transporto (no paralelamente, sino con el push forward) por el flujo de otro Campo Vectorial Y, construimos la Derivada de Lie.

Otra forma de verlo sería, la Derivada de Lie de Y respecto a X, L_{X}(Y)= [X[Y[f]]-[Y[X[f]], con f una función suave en M, a fin de cuentas, X y Y como Campos Vectoriales asignan un vector a cada punto de M, y los vectores son funcionales que actúan sobre funciones continuas de M, en este caso, f.

Nuestra función “f” entre variedades diferenciales (o entre elementos de ésta) es L_A (Multiplicar por la izquierda), y el push forward “f_*” entre espacios tangentes es (L_{A})_{*}.

Pedimos que un Campo Vectorial X sea invariante por la izquierda:

(L_A)_{*} X_{B} = X_{AB}

Si hecemos B= e,

(L_{A})_{*} X_{e} = X_{Ae}=X_{A}

Podemos definir un Álgebra de Lie como el espacio de Campos Vectoriales Invariantes por la izquierda, para cada elemento del espacio tangente V en T_{A}(M) existe un único Campo Vectorial X_{V} que satisface la ecuación de arriba, y entonces tenemos un isomorfismo entre el espacio tangente T_{A}(M) y el espacio de Campos Vectoriales, ya que es un espacio vectorial, lo equipamos con un producto algebraico que es la Derivada de Lie.

Ver la Bibliografía sugerida en: AVISO IMPORTANTE.

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