Archivos de la categoría SQM

Benjamín Pablo Normann

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Estudié la Licenciatura, Maestría y Doctorado en Ciencias (Física) en la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Profesor de la Facultad de Ciencias de la UNAM desde hace 20 años, entre mis cursos están: Física Estadística, Mecánica Cuántica, Relatividad, Electromagnetismo II, Álgebras de Lie (Temas Selectos de Física Matemática Teórica I), Simetrías en Mecánica Cuántica, y Supersimetría (Temas Selectos de Física de Partículas Elementales I).

Profesor invitado en la Université de Genève  (Suiza) y la Universidad Tecnológica de Pereira (Colombia)

Conferencista en Universidades Públicas y Privadas en México y el extranjero.

Co-fundador de la Sociedad Civil Profesionales Tutores por la Educación.

He sido Profesor también del ITESM-CCM (Tec de Monterrey), Universidad La Salle y la Universidad Tecnológica de México (UNITEC), y Coordinador Académico de Kumon Instituto de Educación.

Last but not least

Visita mi blog sobre Esclerosis Múltiple, enfermedad que padezco desde hace muchísimos años. Si tienes algún conocido que padezca esta enfermedad invítalo, es mi intención crear una red de pacientes y amigos de pacientes; tú mismo, visítalo por pura curiosidad o morbo.

https://miesclerosis.wordpress.com

* © Image by Photophilia.

Espacios vectoriales en geometría diferencial

La idea de estas notas es mostrar que en una Variedad Diferencial real n-dimensional $M$, podemos equiparla con un espacio vectorial en cada punto “p”: $T_{p}(M)$ que es el vector $V[f]$ visto en clase: un vector para cada función continua sigma. Y con un Campo Vectorial. Así definimos una curva integral como la curva en $M$ tal que su vector tangente $V$ en $p$, es precisamente el vector que el Campo Vectorial asigna a ese punto $\frac{\partial \sigma(t,x)}{\partial t}=X (\sigma (t,x))

Después, dado un automorfismo $L_{A}: M/rightarrow M$, Tal que $B/rightarrow AB$, para todo$B$ en $M$, usamos el mapa diferencial inducido “push forward” entre los espacios tangentes respectivos: $L_{A})_{*}: T_{A}(M)/rightarrow T_{AB}(M)$. ($A$ y $B$ son elementos de $M$, por lo tanto son puntos)

Comparando cómo cambian los vectores asociados a un campo vectorial $Y$ cuando los transporto (no paralelamente, sino con el push forward), por el flujo $\sigma(t,x)$ de otro Campo Vectorial $X$, construimos la Derivada de Lie.

Otra forma de verlo sería, la Derivada de Lie de $Y$ respecto a $X$, $L_{X}(Y)= [X[Y[f]]-[Y[X[f]]$, con $f$ una función suave en $M$, a fin de cuentas, $X$ y $Y$ como Campos Vectoriales asignan un vector a cada punto de M, y los vectores son funcionales que actúan sobre funciones continuas en $M$, en este caso, $f$.

Nuestra función $f$ entre variedades diferenciales (o entre elementos de ésta) es $L_A$ (Multiplicar por la izquierda), y el push forward $f_{*}$ entre espacios tangentes es $L_{A})_{*}$.

Pedimos que un Campo Vectorial $X$ sea invariante por la izquierda:

$(L_{A})_{*} X_{B} = X_{AB}$

Si hecemos $B= e$,

$(L_{A})_{*} X_{e} = X_{Ae}=X_{A}$

Podemos definir un Álgebra de Lie como el espacio de Campos Vectoriales Invariantes por la izquierda, para cada elemento del espacio tangente$ V$ en $T_{A}(M)$ existe un único Campo Vectorial $X_{V}$ que satisface la ecuación de arriba, y entonces tenemos un isomorfismo entre el espacio tangente $T_{A}(M)$ y el espacio de Campos Vectoriales, ya que es un espacio vectorial, lo equipamos con un producto algebraico, que es la Derivada de Lie.

Ver la Bibliografía sugerida en: AVISO IMPORTANTE.

Tarea 00

Colegas, dejo la tarea 00. Esta tarea es tan voluntaria como la anterior y también tan válida.

El tema de variedades diferenciales, mapas inducidos, derivadas de Lie y representaciones se verán próximamente. (Las correspondientes notas, aparecerán próximamente).

Fecha de entrega: Jueves 9 de marzo, entregar las soluciones de ejercicios que de estar bien a lo más sumen 12 pts.

 

B.*

Pesos y Raíces: SU(3)

En estas notas introducimos los conceptos de Pesos (weights) que son los eigenvalores para una Representación de los elementos de la sub-álgebra de Cartan y las raíces (Roots), que son los pesos de la representación Adjunta, y tratamos explícitamente el caso más sencillo no trivial, que es SU(3): los quarks algebraicos.

En las últimas 2 transparencias, se explica cómo se calcula la representación del álgebra de un grupo que es un producto de otros 2 grupos.