La idea de estas notas es mostrar que en una Variedad Diferencial real n-dimensional $M$, podemos equiparla con un espacio vectorial en cada punto “p”: $T_{p}(M)$ que es el vector $V[f]$ visto en clase: un vector para cada función continua sigma. Y con un Campo Vectorial. Así definimos una curva integral como la curva en $M$ tal que su vector tangente $V$ en $p$, es precisamente el vector que el Campo Vectorial asigna a ese punto $\frac{\partial \sigma(t,x)}{\partial t}=X (\sigma (t,x))
Después, dado un automorfismo $L_{A}: M/rightarrow M$, Tal que $B/rightarrow AB$, para todo$B$ en $M$, usamos el mapa diferencial inducido “push forward” entre los espacios tangentes respectivos: $L_{A})_{*}: T_{A}(M)/rightarrow T_{AB}(M)$. ($A$ y $B$ son elementos de $M$, por lo tanto son puntos)
Comparando cómo cambian los vectores asociados a un campo vectorial $Y$ cuando los transporto (no paralelamente, sino con el push forward), por el flujo $\sigma(t,x)$ de otro Campo Vectorial $X$, construimos la Derivada de Lie.
Otra forma de verlo sería, la Derivada de Lie de $Y$ respecto a $X$, $L_{X}(Y)= [X[Y[f]]-[Y[X[f]]$, con $f$ una función suave en $M$, a fin de cuentas, $X$ y $Y$ como Campos Vectoriales asignan un vector a cada punto de M, y los vectores son funcionales que actúan sobre funciones continuas en $M$, en este caso, $f$.
Nuestra función $f$ entre variedades diferenciales (o entre elementos de ésta) es $L_A$ (Multiplicar por la izquierda), y el push forward $f_{*}$ entre espacios tangentes es $L_{A})_{*}$.
Pedimos que un Campo Vectorial $X$ sea invariante por la izquierda:
$(L_{A})_{*} X_{B} = X_{AB}$
Si hecemos $B= e$,
$(L_{A})_{*} X_{e} = X_{Ae}=X_{A}$
Podemos definir un Álgebra de Lie como el espacio de Campos Vectoriales Invariantes por la izquierda, para cada elemento del espacio tangente$ V$ en $T_{A}(M)$ existe un único Campo Vectorial $X_{V}$ que satisface la ecuación de arriba, y entonces tenemos un isomorfismo entre el espacio tangente $T_{A}(M)$ y el espacio de Campos Vectoriales, ya que es un espacio vectorial, lo equipamos con un producto algebraico, que es la Derivada de Lie.
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